Geometría y Estética

Los Fractales en el Álgebra Lineal

En la imagen observamos que hay una patrón que se repite comenzando con un grupo de triángulos grandes y repitiendo esa misma regularidad en su interior.  Este triángulo se llama Triángulo de Sierpinski.  Si das una revisada en internet, vas a encontrar muchísimas páginas dedicadas a este triángulo, lo que hace pensar que debe tener cierta importancia.  A estos objetos geométricos se les llama fractales.  Podemos definir un fractal como un objeto geométrico que se repite en diferentes escalas.

¿Y qué relación tiene este triángulo con el álgebra lineal? Si comenzamos con un punto y sobre él realizamos transformaciones lineales, obtendremos los vértices de un triángulo, si sobre cada uno de los vértices volvemos a aplicar la transformación lineal, encontraremos otros 3 triángulos y así sucesivamente.  Las transformaciones lineales que se realizan sobre cada punto son multiplicaciones por una matriz.  Por ser transformaciones lineales, la figura que se obtiene conserva su forma exacta y sólo cambia el tamaño.

Fractales

Carl Friedrich Gauss

“Las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”

Nacido en Brunswic, el 30 de abril de 1777, de familia humilde. Su padre se opuso a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus posibilidades. Sin embargo, cuando su padre murió en 1806, Gauss ya había realizado una obra inmortal. En el lado opuesto, su madre Dorothea Benz y el hermano de ésta, Friedrich, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. El apoyo de su madre y tío pudieron con la intención de su padre de mantener a Gauss en la ignorancia. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó de ella los últimos 20 años de la vida de ésta despreocupándose de su fama y carrera.

Gauss fue un verdadero niño prodigio, asistió a la escuela local, dirigida por un maestro de costumbres rutinarias. Un día, con el fin de mantener la clase atareada y en silencio durante un buen rato, el maestro tuvo la idea de hacer sumar a sus alumnos todos los números del 1 al 100. Casi inmediatamente Carl, dijo: “ya está” llegando a la respuesta correcta!

En Febrero de 1792 Gauss ingresó en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conociendo la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. Cuando dejó el colegio, en Octubre de 1795, aún no había decidido si se dedicaría a las matemáticas o a la filología.

En 1796, un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás, como se exigía en la Geometría desde Grecia. Lo que lo motivo a estudiar matemáticas. A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática.

En 1799 en su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra, que afirma que toda ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a+bi donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria. También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano. El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética.

Algunos otros descubrimientos y resultados que han terminado llevando el nombre de Gauss son los siguientes:

• El teorema de Gauss-Bonnet
• El método de Gauss para triangular una matriz (y el método de eliminación de Gauss-Jordan).
• El método de Gauss-Seidel (método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales).
• El teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss (y por teorema de Ostrogradsky-Gauss).

A principios de 1855 empezó a sufrir de dilatación cardiaca, disnea y algunos síntomas de hidropesía. Después de una intensa lucha por la vida, murió pacíficamente en la madrugada del 23 de febrero de 1855, sin haber cumplido los 78 años de edad. Gauss está enterrado en Götingen, donde vivió la mayor parte de su vida. El cerebro de Gauss, con sus numerosas y profundas circunvoluciones, se encuentra en una colección anatómica en la Universidad de Götingen. Y se le conoce hasta ahora como "el príncipe de las matemáticas".

Para conocer mas de él, ingresa a los siguientes links.

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm

http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-3-gauss.pdf

Hermann Günther Grassmann

LENGUAJE DE VECTORES.

-----------------------------Hermann Gunther Grassmann------------------------------

A mediados del siglo XIX aparecen las primeras nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de "vector" manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII, un hecho que representó la génesis del Cálculo Vectorial y de la Matemática moderna. Hermann Gunther Grassmann, considerado el maestro del álgebra lineal, introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de éstos equivalente a nuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las nociones de independencia lineal de un conjunto de vectores, así como el de dimensión de un espacio vectorial, y prueba la clásica identidad:

Para cada par de subespacios U y W de un espacio vectorial.

Grassmann fue un matemático brillante cuyas creaciones en el análisis vectorial solo pueden compararse con las de Hamilton. Nació en Abril de 1809 en Stettin, lugar donde moriría en Septiembre de 1877. En 1839 escribió al comité examinador científico de Berlín sobre su deseo de escribir un trabajo que probara su competencia. Así, inicia su trabajo en el estudio de la marea titulándolo Theorie der Ebbe und Flut, el cual contenía la presentación de un sistema de análisis espacial basado en vectores. Grassmann presentó en éste trabajo una parte sorprendente del análisis vectorial: adición y sustracción de vectores, las dos principales formas de producto vectorial, la diferencial en vectores y los elementos de la función vectorial lineal, todo presentado de manera equivalente con sus homólogos modernos. Para el otoño de 1843, había terminado de escribir otra de sus grandes obras, su Ausdehnungslehre, mismo que se convirtió en un clásico. Es un libro difícil de leer y contiene una gran parte del análisis vectorial moderno y hecho de tal forma que difícilmente puede resumirse. En el periodo de 1844 a 1861, publicó 17 documentos científicos en los que se incluyen importantes documentos de Física, varios sobre lenguas, y libros de texto matemáticos. Este periodo de su vida terminó con su segundo Ausdehnungslehre. Después de 1862 publicó un libro de texto en alemán y en latín sobre matemáticas, además de varios escritos sobre religión y sobre música, así como un libro sobre terminología botánica alemana. También inventó el Heliostat de Grassmann. Esta combinación de actividades se debió a su creciente desacuerdo en la poca atención que recibían sus creaciones matemáticas.

Les dejo un par de links, para los interesados en conocer un poco más sobre su vida y obra:

• Este link los llevará a una muy interesante página, pero esta en el idioma inglés.

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Grassmann.html

• En este link, se encuentra la página anterior traducida, con algunos errores, pero muy entendible y completa.

http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Grassmann.html

Saludos a todos y espero les halla sido interesante la aportación!!!

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far) (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر), conocido generalmente como al-Juarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán chií, que vivió aproximadamente entre 780 y 850. Poco se conoce de su biografía, algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán.

Debemos a su nombre y al de su obra principal," Kitab al-jabr wa'l muqabala", nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración. Fue el más grande de los matemáticos de su época.

Hacia el 820, Al'Khwarizmi fue llamado a Bagdad por el califa abasida Al Mamun, segundo hijo de Harun ar Rashid, conocido por todos gracias a las "Mil y una noches". Al Mamun continuó el enriquecimiento de la ciencia árabe y de la Academia de Ciencias creada por su padre, llamada la Casa de la Sabiduría. Se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e hindúes, y contaba con observatorios astronómicos. En este ambiente científico y multicultural se educó y trabajó Al-Khwarizmi, el cual dedicó sus tratados de álgebra y astronomía al propio califa.

Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y astronomía, están dedicadas al propio califa. En su tratado de álgebra, obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces.

Su tratado de álgebra es una introducción compacta al cálculo, usando reglas para completar y reducir ecuaciones. Además de sistematizar la resolución de ecuaciones cuadráticas, también trata geometría, cálculos comerciales y de herencias. Quizás éste es el libro árabe más antiguo conocido y parte de su título "Kitab al-jabr wa'l-muqabala" da origen a la palabra álgebra. Los términos al-jabr y al-muqabala se utilizan para denominar lo que nosotros entendemos por transposición de términos y posterior simplificación de términos semejantes con coeficientes negativos y positivos. Una posible traducción del título sería "El libro de restaurar e igualar" o "El arte de resolver ecuaciones".

Si quieres conocer más sobre él te recomiendo los siguientes links:

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_3819_biografia_abu_jafar_muhammad_ibn_musa_alkhwarizmi.htm

http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/matematicos/alkhwarizmi.htm

Biografias

Alfredo, Isabel y Diana
Elegirán tres matemáticos que hayan colaborado con del desarrollo del álgebra lineal y harán un biografía breve de ellos en este espacio, así como poner link de interés sobre estos matemáticos y sobre temas que hayan desarrollado.

Espero su aportación y segura estoy de su creatividad para desarrollar este apartado.
Les recuerdo que pueden subir video, imágenes, etc, etc.

Tema: pensemos en álgebra Lineal

Cecy:

desarrolla una introducción breve sobre el álgebra lineal y proporciona link para ampliar y consultar el tema
Esperamos tu aportación, tu innovación y tu creatividad para este apartado